TIEDEMEDIA

Victoria Median Tiedeuutiset

:VÄITÖS: Neliöllisten polynomien periodisista radoista periodeille 1-7 uudessa koordinaattitasossa

mathematics-111423_1280

Filosofian lisensiaatti Pekka Kosunen on tutkinut Itä-Suomen yliopistossa tarkastettavassa matematiikan kompleksidynamiikan alaan kuuluvassa väitöskirjassaan neliöllisen polynomiperheen P(x) = x2+c periodisia ratoja ja niiden ominaisuuksia uudessa koordinaattitasossa muodostamalla siellä periodien 1−7 yhtälöt. Tällöin periodisten ratojen yhtälöt ovat huomattavasti matala-asteisempia kuin aiemmissa malleissa. Iterointi muodostaa eräänlaisen dynaamisen systeemin, jonka ominaisuuksia tässä työssä tutkitaan muodostamalla tunnetun neliöllisen polynomiperheen periodiset radat iteroimalla sopivaa funktiota. Periodiset radat muodostavat dynaamisen avaruuden.

Kompleksidynamiikan tutkimuksella on pitkät perinteet lähtien P. Fatoun ja G. Julian tutkimuksista, jolloin he havaitsivat tarkasteluavaruuden jakautumisen stabiileihin ja epästabiileihin eli kaoottisiin alueisiin iteroidessaan neliöllisiä polynomeja. Aihealue on mielenkiintoinen myös siitä syystä, että se on monen eri matematiikan alan kohtauspaikka yhdistäen esimerkiksi kompleksianalyysin, fraktaaligeometrian ja kaaosteorian, ja näin ollen sovelluskohteita on runsaasti. Käytännön esimerkkejä dynaamisista systeemeistä ovat esimerkiksi biologisten populaatioiden vaihtelut, säätilojen vaihtelu ja pörssikurssien heilahtelu. Tieteen popularisointi on usein hankalaa, etenkin matematiikassa, mutta esimerkiksi näyttävät fraktaalikuviot, kuten hyvin tunnettu Mandelbrotin joukko, ovat kiinnostaneet laajempaakin yleisöä. Polynomiperheenx2+c dynamiikan tutkimuksessa on vielä paljon selvittämättömiä keskeisiä kysymyksiä, jotka ovat olleet viime vuosina ja vuosikymmeninä eräs intensiivisimmistä matematiikan tutkimuksen alueista maailmassa.

Väitöskirja koostuu kolmesta artikkelista. Ensimmäinen artikkeli esittelee uuden iteraatiomallin (u,v)-tasossa, jonka avulla muodostetaan periodien 1-5 periodisten ratojen yhtälöt, sekä tarkastellaan kyseisten ratojen dynamiikkaa ominaisarvon avulla. Kolmannessa artikkelissa sama tarkastelu tehdään periodeille 6-7. Perinteisesti toisen asteen polynomia iteroitaessa asteluku kasvaa hyvin nopeasti ja jo melko matalien periodien yhtälöiden ratkaisu käy hankalaksi. (u,v)-tason malli muuttaa tilannetta merkittävästi. Erinomaisena esimerkkinä voidaan verrata vaikkapa periodin neljä ratojen yhtälöitä perinteisessä (x,c)-tasossa ja uudessa (u,v)-tasossa. Jälkimmäisessä yhtälö on toisen muuttujan suhteen astetta kaksi, ja siis ratkaistavissa eksplisiittisesti toisen muuttujan avulla. Ensimmäisessä tapauksessa vastaavan, astetta 12 olevan, yhtälön ratkaisu on jo erittäin paljon hankalampi toimenpide. Eräs alan tärkeitä avoimia kysymyksiä on eri periodien syklin pisteiden summan yksikäsitteisyys. Kyseistä periodin pisteiden summaa on käytetty usein parametrina monissa alan tutkimuksissa. Aiemmin on osoitettu, että periodien 3 ja 4 syklin pisteiden summa määrää periodien radat yksikäsitteisesti. Väitöskirjan toisessa artikkelissa on osoitettu, että periodin viisi tapauksessa näin ei enää ole, vaan syklin pisteiden summa saa saman arvon korkeintaan kolme kertaa. Keskeisenä työkaluna tämän todistamisessa on käytössä polynomialgebra ja siinä erityisesti eliminointiteoreema ja laajennusteoreema.

FL Pekka Kosusen matematiikan alaan kuuluva väitöskirja Periodic orbits 1-7 of quadratic polynomials on a new coordinate plane tarkastetaan luonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekunnassa. Vastaväittäjänä tilaisuudessa toimii professori Aimo Hinkkanen, University of Illinois at Urbana-Champaign, ja kustoksena professori Risto Korhonen, Itä-Suomen yliopisto.